Инари Бинарни, децимални, октални и хексадецимални систем шта је то и како функционише

Ако сте студент рачунарских наука, електронике или било које гране инжењерства, једна од ствари која би требало да знате је вршење системских бројева. У рачунању, користе се системи нумерирања који се разликују од оног што традиционално знамо, као и наш децимални систем. Због тога, врло могуће, ако се посветимо пољу рачунара, програмирања и сличне технологије, мораћемо да знамо који се најчешће користе системи и како да претворимо из једног система у други.

Садржај индекс

Како извести претварање система нумерирања

Нарочито је корисно познавати систем за претворбу децималних записа у бинарни систем и обрнуто, јер је систем нумерирања са којим компоненте рачунара директно раде. Али такође је веома корисно познавати хексадецимални систем, јер се на пример користи за представљање кодова боја, тастера и великог броја кодова нашег тима.

Системи нумерације

Систем бројања састоји се од представљања скупа симбола и правила која нам омогућавају да изградимо валидне бројеве. Другим речима, састоји се од коришћења низа ограничених симбола помоћу којих ће се моћи формирати друге нумеричке вредности без икаквих ограничења.

Без претјеривања у математичке појмове, системи које људи и машине највише користе су сљедећи:

Децимални систем

То је позициони систем бројања у којем су количине представљене аритметичком базом броја десет.

Како је база број десет, ми ћемо имати могућност да изградимо све фигуре користећи десет бројева који су сви које знамо. 0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Ови бројеви ће се користити за представљање положаја моћи 10 у формирању било ког броја.

Дакле, у овом бројевном систему можемо на следећи начин представити број:

Видимо да је децимални број зброј сваке вредности са базом 10 подигнутом на позицију-1 коју сваки термин заузима. Имаћемо то у виду за конверзије у другим бројевним системима.

Бинарни систем

Бинарни систем је систем бројања у којем се користи аритметичка база 2. Овај систем су рачунари и дигитални системи који се интерно користе да би извршили апсолутно све процесе.

Овај систем нумерирања представља само две цифре, 0 и 1, због чега је заснован на 2 (две цифре), с тим ће сви ланци вредности бити изграђени.

Оцтални систем

Као и код претходних објашњења, већ можемо да замислимо о чему се ради у окталном систему. Оцтал систем је систем бројања у којем се користи аритметичка база 8, односно имаћемо 8 различитих цифара које ће представити све бројеве. То ће бити: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Шестерокутни систем

Слиједећи претходне дефиниције, систем децималног нумерирања је систем нумерирања позиција који се заснива на броју 16. У овом тренутку ћемо се запитати, како ћемо добити 16 различитих бројева, ако је на примјер 10 комбинација два броја другачије?

Па, врло једноставно, измислили смо их, не ми, већ они који су измислили дотични систем. Бројеви које ћемо овде имати биће: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, Б, Ц, Д, Е и Ф. то чини укупно 16 различитих термина. Ако сте икада поставили нумерички код неке боје, има ову врсту нумерирања, и због тога ћете видети како је, на пример, бела представљена као вредност ФФФФФФ. Касније ћемо видјети шта то значи.

Конверзија између бинарног и децималног система

Како је најосновније и лако разумети, почет ћемо конвертирањем између ова два система бројања.

Претвори број из бинарног у децимални

Као што смо видели у првом одељку, представљамо децимални број као зброј вредности помножених са снагом 10 на положај-1 који заузима. Ако то применимо на било који бинарни број, са одговарајућом базом, имаћемо следеће:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	0 · 0 0

Али, наравно, ако бисмо извршили поступак као у децималном систему, добили бисмо вредности које нису 0 и 1, а то су оне које можемо представити само у овом систему бројања.

Али управо ће ово бити од велике користи да се изврши конверзија у децимални систем. Израчунајмо резултат сваке вредности у пољу:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

Па, ако направимо збир ових вредности које резултирају из сваке ћелије, добићемо децималну еквивалентну вредност бинарне вредности.

Децимална вредност 100110 је 38

Морали смо само помножити цифру (0 или 1) с његовом базом (2) подигнутом на положај-1 који заузима на слици. Вредности додамо и број ћемо имати у децималном облику.

Ако се нисте уверили, сада ћемо спровести супротан поступак:

Претворите децимални број у бинарни број

Ако смо прије тога множили бројеве и зброј да бисмо одредили децималну вриједност, сада ћемо морати подијелити децимални број на основу система у који желимо да га претворимо, у овом случају 2.

Ми ћемо спроводити овај поступак све док више не буде могуће даље спровођење поделе. Погледајмо пример како би се то радило.

Број	38	19	9	4	2	1
Дивизија	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Почивај	0	1	1	0	0	1

То је резултат смањивања узастопних подела. Можда сте већ схватили како то функционише. Ако сада узмемо остатке сваке поделе и преокренемо њен положај, добићемо бинарну вредност децималног броја. Односно, одакле смо завршили поделу уназад:

Дакле, имамо следећи резултат: 100110

Као што видимо, успели смо да имамо тачно исти број као на почетку одељка.

Фракционалан децимални број претворбе у бинарни

Као што добро знамо, не постоје само цели децимални бројеви, већ можемо наћи и стварне бројеве (фракције). А као систем бројања, требало би да буде могуће претворити број из децималног система у бинарни систем. Видимо како се то ради. Узмимо за пример број 38, 375

Оно што морамо учинити је да одвојимо сваки од делова. Већ знамо како израчунати цео део, па ћемо прећи директно на децимални део.

Процедура ће бити сљедећа: морамо узети децимални дио и помножити га са основом система, тј. 2. Резултат множења морамо поново да га множимо док не добијемо фракцијски део 0. Ако се приликом множења појављује фракцијски број са целим делом, мораћемо узети само део за следеће множење. Погледајмо пример да бисмо га боље разумели.

Број	0.375	0, 75	0, 50
Умножавање	* 2 = 0, 75	* 2 = 1, 50	* 2 = 1, 00
Цели део	0	1	1

Као што видимо, узимамо децимални део и множимо га поново док не стигнемо до 1.00 где ће резултат увек бити 0.

Резултат од 38.375 у бинарном формату биће 100 110.011

Али шта се догађа када никада не можемо постићи резултат од 1, 00 у процесу? Погледајмо пример са 38, 45

Број	0, 45	0, 90	0, 80	0, 60	0, 20	0, 40	0, 80
Умножавање	* 2 = 0, 90	* 2 = 1, 80	* 2 = 1, 60	* 2 = 1, 20	* 2 = 0, 40	* 2 = 0, 80	* 2 = 1, 60
Цели део	0	1	1	1	0	0	1

Као што видимо , од 0, 80 процес постаје периодичан, односно никада нећемо завршити поступак јер ће се увијек појављивати бројеви од 0, 8 до 0, 4. Тада ће наш резултат бити апроксимација децималног броја, што даље идемо, то ћемо добити већу тачност.

Дакле: 38, 45 = 100 110, 01110011001 1001 …

Да видимо како да урадимо обрнути процес

Фракцијски бинарни број претвара у децимални

Овај процес ће се извести на исти начин као и нормална промена базе, осим што ће од зареза моћи бити негативне. Узмимо само цео део претходног бинарног броја:

0	1	1	1	0	0	1	…
0 · 2 -1 = 0	1 · 2 -2 = 0, 25	· 2 -3 = 0, 125	· 2 -4 = 0, 0625	1 · 2 -5 = 0	1 · 2 -6 = 0	2 · -7 = 0, 0078125	…

Ако додамо резултате добићемо:

0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 0078125 = 0, 4453

Ако бисмо наставили да радимо, све би се више приближили тачној вредности од 38, 45

Конверзија између окталног система и бинарног система

Сада ћемо видети како да извршимо претворбу између два система која нису децимална, јер за то ћемо узети осмерац и бинарни систем и урадићемо исти поступак као у претходним одељцима.

Претвори број из бинарног у октални

Конверзија између оба система нумерирања је врло једноставна, јер је основа окталног система иста као у бинарном систему, али подигнута на снагу 3, 2 ³ = 8. Дакле, на основу овога, оно што ћемо учинити је групирати бинарне појмове у три групе почевши од десне налево и директно претварати у децимални број. Погледајмо пример са бројем 100110:

1	0	0	1	1	0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

Групирамо сваке три цифре и претворимо у децимални број. Крајњи резултат ће бити 100110 = 46

Али шта ако немамо савршене групе од 3? На пример 1001101, имамо две групе од 3 и једна од 1, да видимо како даље:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

Након поступка, узимамо групе с десне стране термина и када дођемо до краја, испуњавамо онолико нуле колико је потребно. У овом случају, потребна су нам два како бисмо завршили последњу групу. Дакле 1001101 = 115

Претвори октални број у бинарни

Па, поступак је једноставан као и обрнуто, односно прелазак из бинарног у децимално у групама од 3. Да видимо са бројем 115

Вредност	1	1	5
Дивизија	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Почивај	1	0	0	1	0	0	1	0	1
Групно	001	001	101

На овај начин видимо да је 115 = 001001101 или шта је исто 115 = 1001101

Конверзија између окталног система и децималног система

Сада ћемо видети како да извршимо поступак преласка из окталног система броја у децимални и обрнуто. Видећемо да је поступак потпуно исти као у случају децималног и бинарног система, само што морамо променити базу у 8 уместо 2.

Поступке ћемо спровести директно уз изразе са делом.

Претворите децимални број у осмерац

Слиједећи поступак децимално-бинарне методе извести ћемо је на примјеру 238.32:

Цели део. Дијелимо према бази, која износи 8:

Број	238	29	3
Дивизија	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
Почивај	6	5	3

Децимални део множимо са основом, која је 8:

Број	0, 32	0, 56	0, 48	0, 84	0, 72	…
Умножавање	* 8 = 2, 56	* 8 = 4, 48	* 8 = 3, 84	* 8 = 6, 72	* 8 = 5, 76	…
Цели део	2	4	3	6	5	…

Добијени резултат је следећи: 238.32 = 356.24365…

Претвори октални број у децимални

Онда, направимо супротан поступак. Преносимо октални број 356, 243 у децимални број:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 1 = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8 -1 = 0, 25	4 · 8 -2 = 0, 0625	3 · 8 -3 = 0, 005893

Резултат је: 192 + 40 + 6, 0, 25 + 0, 0625 + 0, 005893 = 238, 318

Конверзија између хексадецималног система и децималног система

Затим завршавамо процесом конверзије између хексадецималног система бројања и децималног система.

Претворите децимални број у хексадецимални број

Слиједећи поступак децималне-бинарне и децимално-окталне методе извести ћемо је на примјеру 238.32:

Цели део. Дијелимо према бази, која износи 16:

Број	238	14
Дивизија	÷ 16 = 14	-
Почивај	Е	Е

Децимални део множимо са основом, која износи 16:

Број	0, 32	0.12	0, 92	0, 72	0, 52	…
Умножавање	* 16 = 5, 12	* 16 = 1, 92	* 16 = 14, 72	* 16 = 11, 52	* 16 = 8, 32	…
Цели део	5	1	Е	Б	8	…

Добијени резултат је следећи: 238.32 = ЕЕ, 51ЕБ8…

Претвори број из хексадецималне у децималну

Онда, направимо супротан поступак. Преносимо хексадецимални број ЕЕ, 51Е у децимални број:

Е	Е	,	5	1	Е
Е16 1 = 224	Е · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0, 3125	1 · 16 -2 = 0, 003906	Е16 -3 = 0, 00341

Резултат је: 224 + 14, 0.3125 + 0.003906 + 0.00341 = 238.3198…

Па ово су главни начини за промену базе из једног система бројања у други. Систем је применљив на систем у било којој бази и децималном систему, мада се они највише користе у области рачунања.

Можда ће вас такође занимати:

Ако имате било каквих питања, оставите их у коментарима. Покушаћемо да вам помогнемо.